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network.py
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一个模块，用于实现前馈神经网络的随机梯度下降学习算法。梯度是使用反向传播计算的。请注意，我专注于使代码简单、易于阅读和易于修改。代码没有优化，并且省略了许多理想特性。
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#### 库
# 标准库
import random
import time

# 第三方库
import numpy as np


class Network(object):
    def __init__(self, sizes):
        """列表 ``sizes`` 包含网络各层的神经元数量。例如，如果列表是 [2, 3, 1]，则它将是一个三层网络，第一层包含2个神经元，第二层包含3个神经元，第三层包含1个神经元。网络的偏置和权重是随机初始化的，使用均值为0，方差为1的高斯分布。请注意，第一层假定为输入层，并且按照惯例我们不会为这些神经元设置任何偏置，因为偏置只在计算后续层的输出时使用。"""
        self.num_layers = len(sizes)
        self.sizes = sizes
        self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
        self.weights = [np.random.randn(y, x)
                        for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

    def feedforward(self, a):
        """如果 ``a`` 是输入，返回网络的输出。"""
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)
        return a

    def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,
            test_data=None):
        """使用小批量随机梯度下降训练神经网络。 ``training_data`` 是一个元组列表 ``(x, y)``，代表训练输入和期望的输出。其他非可选参数是自解释的。如果提供了 ``test_data``，则网络将在每个时期后针对测试数据进行评估，并打印部分进度。这有助于跟踪进度，但会显著减慢速度。"""
        if test_data: n_test = len(test_data)
        n = len(training_data)
        for j in range(epochs):
            time1 = time.time()
            random.shuffle(training_data)
            mini_batches = [
                training_data[k:k+mini_batch_size]
                for k in range(0, n, mini_batch_size)]
            for mini_batch in mini_batches:
                self.update_mini_batch(mini_batch, eta)
            time2 = time.time()
            if test_data:
                print("第 {0} 个时期：{1} / {2}，耗时 {3:.2f} 秒".format(
                    j, self.evaluate(test_data), n_test, time2-time1))
            else:
                print("第 {0} 个时期完成，耗时 {1:.2f} 秒".format(j, time2-time1))

    def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
        """通过对单个小批量应用反向传播的梯度下降来更新网络的权重和偏置。 ``mini_batch`` 是一个元组列表 ``(x, y)``，``eta`` 是学习率。"""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        for x, y in mini_batch:
            delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
            nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
            nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]
        self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw
                        for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
        self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb
                       for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

    def backprop(self, x, y):
        """返回一个元组 ``(nabla_b, nabla_w)``，表示成本函数 C_x 的梯度。 ``nabla_b`` 和 ``nabla_w`` 是逐层的numpy数组列表，类似于 ``self.biases`` 和 ``self.weights``。"""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        # 前向传播
        activation = x
        activations = [x] # 存储所有层的激活值的列表
        zs = [] # 存储所有z向量的列表
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            z = np.dot(w, activation)+b
            zs.append(z)
            activation = sigmoid(z)
            activations.append(activation)
        # 反向传播
        delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
            sigmoid_prime(zs[-1])
        nabla_b[-1] = delta
        nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
        # 注意，下面循环中的变量 l 在书中的表示方法中使用得有点不同。在这里，l = 1 表示最后一个神经元层，l = 2 是倒数第二层，依此类推。这是一种重新编号的方案，用于利用Python可以在列表中使用负索引的事实。
        for l in range(2, self.num_layers):
            z = zs[-l]
            sp = sigmoid_prime(z)
            delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
            nabla_b[-l] = delta
            nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
        return (nabla_b, nabla_w)

    def evaluate(self, test_data):
        """返回神经网络输出正确结果的测试输入数量。请注意，神经网络的输出假定为最终层中激活值最高的神经元的索引。"""
        test_results = [(np.argmax(self.feedforward(x)), y)
                        for (x, y) in test_data]
        return sum(int(x == y) for (x, y) in test_results)

    def cost_derivative(self, output_activations, y):
        """返回偏导数向量 \partial C_x / \partial a，用于输出激活值。"""
        return output_activations-y

#### 其他函数
def sigmoid(z):
    """sigmoid函数。"""
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

def sigmoid_prime(z):
    """sigmoid函数的导数。"""
    return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))